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#10 [CAST 대기행렬 스터디] 1강. 대기행렬 이론의 기본 개념과 핵심 용어 이해하기

# [CAST 대기행렬 스터디] 1강. 대기행렬 이론의 기본 개념과 핵심 용어 이해하기

## 1. 대기행렬 이론이란?

대기행렬 이론(Queueing Theory)은 쉽게 말하면,

> **사람이 들어오는 속도와 처리되는 속도를 비교하여 대기열이 얼마나 생기고, 얼마나 기다리며, 언제 혼잡이 해소되는지를 계산하는 방법**

이다.

공항에서는 다음과 같은 업무에 적용할 수 있다.

- 체크인 카운터
- 보안검색대
- 출국심사대
- 탑승구
- 수하물 처리시설
- 기타 여객 대기시설

예를 들어 체크인 구역에 승객이 계속 들어오고 있고, 여러 개의 체크인 데스크가 승객을 처리하고 있다고 가정해보자.

이때 우리가 궁금한 것은 다음과 같다.

- 현재 대기인원은 몇 명인가?
- 승객은 얼마나 빠르게 들어오고 있는가?
- 데스크 하나는 얼마나 빠르게 승객을 처리하는가?
- 현재 운영 중인 데스크 수는 충분한가?
- 지금의 혼잡은 언제 해소되는가?
- 혼잡을 30분 안에 해소하려면 데스크를 몇 개 운영해야 하는가?

이러한 질문에 답하기 위한 이론이 대기행렬 이론이다.

---

## 2. 가장 먼저 이해해야 할 4개의 핵심 변수

대기행렬 이론에서 가장 먼저 이해해야 할 것은 다음 네 가지다.

| 기호 | 명칭 | 의미 | 공항 예시 |
|---|---|---|---|
| λ | 람다 | 유입률 | 시간당 체크인 구역으로 들어오는 승객 수 |
| μ | 뮤 | 처리율 | 데스크 1개가 시간당 처리하는 승객 수 |
| s | 시설 수 | 운영 중인 처리시설 개수 | 운영 중인 체크인 데스크 수 |
| Lq | 대기인원 | 현재 Queue에서 기다리는 인원 | 현재 체크인 대기 승객 수 |

이 네 가지를 이해하면 대기행렬 이론의 기본 구조는 대부분 이해한 것이라고 볼 수 있다.

---

## 3. λ(람다) : 유입률

λ는 Arrival Rate, 즉 **사람이 들어오는 속도**를 의미한다.

예를 들어 10분 동안 체크인 구역에 100명이 들어왔다면,

```text
λ = 100명 / 10분
```

시간당으로 환산하면,

```text
λ = 600명 / 시간
```

이다.

여기서 중요한 점은 λ가 단순한 사람 수가 아니라 **속도**라는 것이다.

잘못된 표현:

```text
λ = 100명
```

올바른 표현:

```text
λ = 100명 / 10분
λ = 600명 / 시간
```

즉, 반드시 시간 단위가 포함되어야 한다.

---

## 4. μ(뮤) : 처리율

μ는 Service Rate, 즉 **시설 하나가 사람을 처리하는 속도**를 의미한다.

예를 들어 체크인 데스크 한 개가 5분 동안 10명의 승객을 처리했다면,

```text
μ = 10명 / 5분
```

즉,

```text
μ = 2명 / 분
```

시간당으로 환산하면,

```text
μ = 120명 / 시간
```

이다.

여기서 중요한 점은 μ가 일반적으로 **시설 1개 기준의 처리속도**라는 것이다.

예를 들어,

```text
데스크 1개 처리속도 = 120명/시간
데스크 수 = 4개
```

라면 전체 처리능력은 다음과 같다.

```text
전체 처리능력 = s × μ
              = 4 × 120
              = 480명/시간
```

---

## 5. s : 운영 중인 시설 수

s는 Server의 수를 의미한다.

여기에서 Server는 IT 서버가 아니라 **사람을 처리하는 시설**을 의미한다.

공항 업무에서는 다음과 같이 대응할 수 있다.

```text
체크인 → 체크인 Desk
보안검색 → 보안검색 Lane
출국심사 → 출국심사대
```

예를 들어 다음과 같이 운영 중이라면,

```text
Desk 1 : OPEN
Desk 2 : OPEN
Desk 3 : CLOSED
Desk 4 : OPEN
Desk 5 : CLOSED
```

운영 중인 시설 수는 다음과 같다.

```text
s = 3
```

따라서 Xovis 등의 데이터를 사용할 경우 `DeskOpen = 1`인 시설을 카운트하여 현재 운영 시설 수를 산출할 수 있다.

---

## 6. Lq : 대기인원

Lq는 현재 Queue, 즉 대기열에 있는 사람 수를 의미한다.

예를 들어 체크인 Island C의 대기열에 150명이 있다면,

```text
Lq = 150명
```

이다.

여기에서 λ, μ와 Lq의 차이를 구분해야 한다.

```text
λ : 유입 속도      → 명/시간
μ : 처리 속도      → 명/시간
Lq : 현재 대기인원 → 명
```

자동차 도로에 비유하면 다음과 같이 이해할 수 있다.

```text
λ  = 도로로 들어오는 차량 속도
μ  = 톨게이트 1개의 처리속도
s  = 톨게이트 개수
Lq = 현재 톨게이트 앞에 밀려 있는 차량 수
```

---

## 7. 대기행렬 이론의 가장 중요한 원리

대기행렬 이론의 핵심은 매우 단순하다.

> **들어오는 사람보다 처리하는 사람이 많으면 줄은 줄어든다.**

반대로,

> **들어오는 사람이 처리할 수 있는 사람보다 많으면 줄은 계속 늘어난다.**

이를 계산하면 다음과 같다.

```text
대기열 감소속도 = 전체 처리량 - 유입량
```

수식으로 표현하면,

```text
대기열 감소속도 = s × μ - λ
```

이다.

문서에서는 이를 배수율의 개념으로 설명하고 있다.

---

## 8. 예제 : 대기열이 감소하는 경우

다음과 같은 체크인 구역을 가정한다.

```text
데스크 수 s = 4개
데스크 1개 처리속도 μ = 100명/시간
승객 유입률 λ = 300명/시간
```

전체 처리능력은 다음과 같다.

```text
s × μ
= 4 × 100
= 400명/시간
```

승객은 시간당 300명이 들어오고 있으므로,

```text
400 - 300
= 100명/시간
```

이다.

즉,

> **대기인원이 시간당 약 100명씩 감소한다.**

---

## 9. 반대로 대기열이 계속 증가하는 경우

이번에는 승객 유입률을 다음과 같이 가정한다.

```text
λ = 500명/시간
```

전체 처리능력은 여전히,

```text
s × μ = 400명/시간
```

이다.

따라서,

```text
400 - 500
= -100명/시간
```

이다.

즉,

> **대기인원이 시간당 약 100명씩 증가한다.**

이 경우에는 시간이 아무리 지나도 대기열을 해소할 수 없다.

따라서 대기열을 줄이려면 반드시 다음 조건이 필요하다.

```text
s × μ > λ
```

즉,

> **전체 처리능력이 유입량보다 커야 한다.**

---

## 10. 욕조로 생각하면 이해하기 쉽다

대기행렬 이론은 욕조에 물이 들어오고 빠져나가는 상황과 비슷하다.

```text
수도꼭지에서 들어오는 물 = λ
배수구로 빠지는 물       = s × μ
욕조에 현재 차 있는 물   = Lq
```

따라서 세 가지 상황만 존재한다.

```text
유입량 < 처리량
→ 물이 줄어든다.
→ 혼잡 해소

유입량 = 처리량
→ 물의 양이 유지된다.
→ 혼잡 지속

유입량 > 처리량
→ 물이 계속 늘어난다.
→ 혼잡 악화
```

공항의 체크인 대기열도 동일하다.

---

## 11. 혼잡 해소시간 계산의 기본 개념

현재 체크인 구역의 상황이 다음과 같다고 가정한다.

```text
현재 대기인원 Lq = 150명
승객 유입률 λ = 300명/시간
데스크 1개 처리속도 μ = 100명/시간
운영 데스크 수 s = 4개
```

전체 처리능력은,

```text
4 × 100
= 400명/시간
```

이다.

실제 대기열 감소속도는,

```text
400 - 300
= 100명/시간
```

이다.

현재 대기인원이 150명이므로,

```text
150 ÷ 100
= 1.5시간
```

즉 약 1시간 30분 후 대기열이 해소될 것으로 예상할 수 있다.

---

## 12. 대기인원 10명 이하까지 줄이는 시간

실제 운영에서는 대기인원이 완전히 0명이 되어야만 혼잡이 해소되었다고 보지 않을 수도 있다.

예를 들어,

> 대기인원이 10명 이하가 되면 혼잡이 해소된 것으로 판단

한다고 가정하면 제거해야 할 대기인원은 다음과 같다.

```text
150 - 10
= 140명
```

대기열 감소속도가 100명/시간이므로,

```text
140 ÷ 100
= 1.4시간
```

이다.

즉,

```text
약 1시간 24분 후
```

대기인원이 10명 이하가 될 것으로 예상할 수 있다.

이를 일반화하면,

```text
혼잡 해소시간
= (현재 대기인원 - 목표 대기인원)
  ÷ (전체 처리량 - 유입량)
```

으로 볼 수 있다.

---

## 13. M/M/s 모델이란?

문서에는 다음과 같은 표현이 등장한다.

```text
M/M/s
```

이는 대기행렬 모델의 한 종류이다.

현재 단계에서는 각 기호를 깊게 이해하기보다 다음과 같이 이해하면 충분하다.

```text
첫 번째 M
→ 승객이 일정하지 않고 확률적으로 도착함

두 번째 M
→ 승객 처리시간도 일정하지 않고 변동됨

s
→ 여러 개의 처리시설이 존재함
```

공항에서는 실제 승객이 정확히 일정한 간격으로 도착하지 않는다.

예를 들어,

```text
10:00 → 2명
10:01 → 15명
10:02 → 8명
10:03 → 20명
```

처럼 변동된다.

체크인 처리시간 역시 승객마다 다르다.

```text
승객 A → 1분 20초
승객 B → 4분 10초
승객 C → 2분 05초
승객 D → 7분 30초
```

따라서 이러한 변동성을 확률적으로 표현하기 위해 M/M/s 같은 대기행렬 모델을 사용한다.

---

## 14. Erlang C는 무엇인가?

Erlang C는 M/M/s 대기행렬에서 많이 사용하는 계산 방법이다.

쉽게 표현하면 다음과 같은 질문에 답하기 위한 방법이다.

```text
승객이 대기하게 될 확률은 얼마인가?

평균적으로 몇 분을 기다리게 되는가?

시설이 현재 승객 수요를 감당할 수 있는가?
```

현재 단계에서는 Erlang C 공식을 직접 계산하기보다,

> **대기시간과 대기확률을 계산하기 위한 대표적인 대기행렬 공식**

정도로 이해하면 된다.

---

## 15. Little's Law

대기행렬 이론에서 매우 중요한 공식 중 하나가 Little's Law이다.

```text
L = λ × W
```

의미는 다음과 같다.

```text
평균 인원
=
유입속도
×
평균 머무르는 시간
```

예를 들어 어떤 공간에 시간당 60명이 들어오고, 한 사람이 평균 30분 동안 머문다고 가정한다.

```text
λ = 60명/시간
W = 0.5시간
```

그러면 평균 인원은,

```text
L = 60 × 0.5
  = 30명
```

정도로 예상할 수 있다.

---

## 16. 공항 대기열에 Little's Law 적용

체크인 대기열의 유입률이 다음과 같다고 가정한다.

```text
λ = 300명/시간
```

평균 대기시간이,

```text
Wq = 12분
```

이라면 시간 단위로 환산하면,

```text
Wq = 0.2시간
```

이다.

따라서 평균 대기인원은,

```text
Lq = λ × Wq
   = 300 × 0.2
   = 60명
```

으로 계산할 수 있다.

즉,

> 시간당 300명이 유입되고 평균적으로 12분을 기다린다면 대기열에는 평균 약 60명이 존재한다.

라는 의미이다.

Little's Law는 실제 관측값과 시뮬레이션 결과가 논리적으로 맞는지를 검증하는 데도 활용할 수 있다.

---

## 17. Xovis와 CAST에서의 활용 관점

실제 공항에서는 λ, μ, s, Lq가 처음부터 모두 주어지는 것은 아니다.

따라서 Xovis, CAST 등의 데이터를 활용하여 다음 정보를 산출해야 한다.

```text
Xovis / CAST 데이터
        ↓
현재 대기인원 Lq
        ↓
유입률 λ
        ↓
처리율 μ
        ↓
운영 시설 수 s
        ↓
전체 처리능력 s × μ
        ↓
대기열 증가/감소 판단
        ↓
필요 시설 수 계산
        ↓
혼잡 해소시간 예측
```

결국 대기행렬 이론을 사용하는 목적은 단순히 수식을 계산하는 것이 아니다.

핵심 목적은,

> **현재 공항 운영상태를 데이터로 파악하고 앞으로의 혼잡 상태를 예측하는 것**

이다.

---

## 18. CAST Express 시뮬레이션과의 연결

CAST Express 시뮬레이션에서도 동일한 개념을 사용할 수 있다.

예를 들어 다음 두 결과를 비교할 수 있다.

```text
실제 Xovis 관측값
        ↕
CAST Express 시뮬레이션 결과
```

비교 대상은 다음과 같다.

- 대기인원
- 유입량
- 처리량
- 평균 대기시간
- 혼잡 발생시점
- 혼잡 해소시점
- 운영시설 수

이 값을 서로 비교하면,

> CAST Express의 시뮬레이션이 실제 공항 운영환경을 얼마나 잘 재현하고 있는가

를 판단할 수 있다.

따라서 대기행렬 이론은 **CAST 시뮬레이션 결과 검증과 보정에도 활용할 수 있는 이론적 기반**이 된다.

---

## 19. 이번 강의 핵심 정리

이번 강의에서는 다음 네 가지 변수를 가장 먼저 이해하는 것이 중요하다.

```text
λ : 사람이 들어오는 속도
μ : 시설 하나의 처리속도
s : 운영 중인 시설 수
Lq : 현재 기다리는 사람 수
```

그리고 가장 중요한 기본 관계는 다음과 같다.

```text
전체 처리능력 = s × μ
```

```text
대기열 감소속도
= s × μ - λ
```

따라서,

```text
s × μ > λ
→ 대기열 감소

s × μ = λ
→ 대기열 유지

s × μ < λ
→ 대기열 증가
```

이다.

이를 한 문장으로 정리하면,

> **대기행렬 이론은 승객이 들어오는 속도와 시설이 처리하는 속도의 관계를 이용해 대기인원, 혼잡 상태, 필요 시설 수, 혼잡 해소시간 등을 예측하는 방법이다.**

---

## 다음 강의

**[CAST 대기행렬 스터디] 2강. Xovis 데이터에서 유입률 λ를 계산하는 방법** :chatgpt-content-reference{index="2"}

```text
현재 대기인원
이전 대기인원
처리된 승객 수
```

를 이용해 **:chatgpt-content-reference{index="3"}**을 실제 숫자를 넣어 단계별로 계산해본다.

Tasks

[CAST 대기행렬 스터디] 1강. 대기행렬 이론의 기본 개념과 핵심 용어 이해하기

1. 대기행렬 이론이란?

대기행렬 이론(Queueing Theory)은 쉽게 말하면,

사람이 들어오는 속도와 처리되는 속도를 비교하여 대기열이 얼마나 생기고, 얼마나 기다리며, 언제 혼잡이 해소되는지를 계산하는 방법

이다.

공항에서는 다음과 같은 업무에 적용할 수 있다.

체크인 카운터
보안검색대
출국심사대
탑승구
수하물 처리시설
기타 여객 대기시설

예를 들어 체크인 구역에 승객이 계속 들어오고 있고, 여러 개의 체크인 데스크가 승객을 처리하고 있다고 가정해보자.

이때 우리가 궁금한 것은 다음과 같다.

현재 대기인원은 몇 명인가?
승객은 얼마나 빠르게 들어오고 있는가?
데스크 하나는 얼마나 빠르게 승객을 처리하는가?
현재 운영 중인 데스크 수는 충분한가?
지금의 혼잡은 언제 해소되는가?
혼잡을 30분 안에 해소하려면 데스크를 몇 개 운영해야 하는가?

이러한 질문에 답하기 위한 이론이 대기행렬 이론이다.

2. 가장 먼저 이해해야 할 4개의 핵심 변수

대기행렬 이론에서 가장 먼저 이해해야 할 것은 다음 네 가지다.

기호	명칭	의미	공항 예시
λ	람다	유입률	시간당 체크인 구역으로 들어오는 승객 수
μ	뮤	처리율	데스크 1개가 시간당 처리하는 승객 수
s	시설 수	운영 중인 처리시설 개수	운영 중인 체크인 데스크 수
Lq	대기인원	현재 Queue에서 기다리는 인원	현재 체크인 대기 승객 수

이 네 가지를 이해하면 대기행렬 이론의 기본 구조는 대부분 이해한 것이라고 볼 수 있다.

3. λ(람다) : 유입률

λ는 Arrival Rate, 즉 사람이 들어오는 속도를 의미한다.

예를 들어 10분 동안 체크인 구역에 100명이 들어왔다면,

λ = 100명 / 10분

시간당으로 환산하면,

λ = 600명 / 시간

이다.

여기서 중요한 점은 λ가 단순한 사람 수가 아니라 속도라는 것이다.

잘못된 표현:

λ = 100명

올바른 표현:

λ = 100명 / 10분
λ = 600명 / 시간

즉, 반드시 시간 단위가 포함되어야 한다.

4. μ(뮤) : 처리율

μ는 Service Rate, 즉 시설 하나가 사람을 처리하는 속도를 의미한다.

예를 들어 체크인 데스크 한 개가 5분 동안 10명의 승객을 처리했다면,

μ = 10명 / 5분

즉,

μ = 2명 / 분

시간당으로 환산하면,

μ = 120명 / 시간

이다.

여기서 중요한 점은 μ가 일반적으로 시설 1개 기준의 처리속도라는 것이다.

예를 들어,

데스크 1개 처리속도 = 120명/시간
데스크 수 = 4개

라면 전체 처리능력은 다음과 같다.

전체 처리능력 = s × μ
              = 4 × 120
              = 480명/시간

5. s : 운영 중인 시설 수

s는 Server의 수를 의미한다.

여기에서 Server는 IT 서버가 아니라 사람을 처리하는 시설을 의미한다.

공항 업무에서는 다음과 같이 대응할 수 있다.

체크인 → 체크인 Desk
보안검색 → 보안검색 Lane
출국심사 → 출국심사대

예를 들어 다음과 같이 운영 중이라면,

Desk 1 : OPEN
Desk 2 : OPEN
Desk 3 : CLOSED
Desk 4 : OPEN
Desk 5 : CLOSED

운영 중인 시설 수는 다음과 같다.

s = 3

따라서 Xovis 등의 데이터를 사용할 경우 DeskOpen = 1인 시설을 카운트하여 현재 운영 시설 수를 산출할 수 있다.

6. Lq : 대기인원

Lq는 현재 Queue, 즉 대기열에 있는 사람 수를 의미한다.

예를 들어 체크인 Island C의 대기열에 150명이 있다면,

Lq = 150명

이다.

여기에서 λ, μ와 Lq의 차이를 구분해야 한다.

λ : 유입 속도      → 명/시간
μ : 처리 속도      → 명/시간
Lq : 현재 대기인원 → 명

자동차 도로에 비유하면 다음과 같이 이해할 수 있다.

λ  = 도로로 들어오는 차량 속도
μ  = 톨게이트 1개의 처리속도
s  = 톨게이트 개수
Lq = 현재 톨게이트 앞에 밀려 있는 차량 수

7. 대기행렬 이론의 가장 중요한 원리

대기행렬 이론의 핵심은 매우 단순하다.

들어오는 사람보다 처리하는 사람이 많으면 줄은 줄어든다.

반대로,

들어오는 사람이 처리할 수 있는 사람보다 많으면 줄은 계속 늘어난다.

이를 계산하면 다음과 같다.

대기열 감소속도 = 전체 처리량 - 유입량

수식으로 표현하면,

대기열 감소속도 = s × μ - λ

이다.

문서에서는 이를 배수율의 개념으로 설명하고 있다.

8. 예제 : 대기열이 감소하는 경우

다음과 같은 체크인 구역을 가정한다.

데스크 수 s = 4개
데스크 1개 처리속도 μ = 100명/시간
승객 유입률 λ = 300명/시간

전체 처리능력은 다음과 같다.

s × μ
= 4 × 100
= 400명/시간

승객은 시간당 300명이 들어오고 있으므로,

400 - 300
= 100명/시간

이다.

즉,

대기인원이 시간당 약 100명씩 감소한다.

9. 반대로 대기열이 계속 증가하는 경우

이번에는 승객 유입률을 다음과 같이 가정한다.

λ = 500명/시간

전체 처리능력은 여전히,

s × μ = 400명/시간

이다.

따라서,

400 - 500
= -100명/시간

이다.

즉,

대기인원이 시간당 약 100명씩 증가한다.

이 경우에는 시간이 아무리 지나도 대기열을 해소할 수 없다.

따라서 대기열을 줄이려면 반드시 다음 조건이 필요하다.

s × μ > λ

즉,

전체 처리능력이 유입량보다 커야 한다.

10. 욕조로 생각하면 이해하기 쉽다

대기행렬 이론은 욕조에 물이 들어오고 빠져나가는 상황과 비슷하다.

수도꼭지에서 들어오는 물 = λ
배수구로 빠지는 물       = s × μ
욕조에 현재 차 있는 물   = Lq

따라서 세 가지 상황만 존재한다.

유입량 < 처리량
→ 물이 줄어든다.
→ 혼잡 해소

유입량 = 처리량
→ 물의 양이 유지된다.
→ 혼잡 지속

유입량 > 처리량
→ 물이 계속 늘어난다.
→ 혼잡 악화

공항의 체크인 대기열도 동일하다.

11. 혼잡 해소시간 계산의 기본 개념

현재 체크인 구역의 상황이 다음과 같다고 가정한다.

현재 대기인원 Lq = 150명
승객 유입률 λ = 300명/시간
데스크 1개 처리속도 μ = 100명/시간
운영 데스크 수 s = 4개

전체 처리능력은,

4 × 100
= 400명/시간

이다.

실제 대기열 감소속도는,

400 - 300
= 100명/시간

이다.

현재 대기인원이 150명이므로,

150 ÷ 100
= 1.5시간

즉 약 1시간 30분 후 대기열이 해소될 것으로 예상할 수 있다.

12. 대기인원 10명 이하까지 줄이는 시간

실제 운영에서는 대기인원이 완전히 0명이 되어야만 혼잡이 해소되었다고 보지 않을 수도 있다.

예를 들어,

대기인원이 10명 이하가 되면 혼잡이 해소된 것으로 판단

한다고 가정하면 제거해야 할 대기인원은 다음과 같다.

150 - 10
= 140명

대기열 감소속도가 100명/시간이므로,

140 ÷ 100
= 1.4시간

이다.

즉,

약 1시간 24분 후

대기인원이 10명 이하가 될 것으로 예상할 수 있다.

이를 일반화하면,

혼잡 해소시간
= (현재 대기인원 - 목표 대기인원)
  ÷ (전체 처리량 - 유입량)

으로 볼 수 있다.

13. M/M/s 모델이란?

문서에는 다음과 같은 표현이 등장한다.

M/M/s

이는 대기행렬 모델의 한 종류이다.

현재 단계에서는 각 기호를 깊게 이해하기보다 다음과 같이 이해하면 충분하다.

첫 번째 M
→ 승객이 일정하지 않고 확률적으로 도착함

두 번째 M
→ 승객 처리시간도 일정하지 않고 변동됨

s
→ 여러 개의 처리시설이 존재함

공항에서는 실제 승객이 정확히 일정한 간격으로 도착하지 않는다.

예를 들어,

10:00 → 2명
10:01 → 15명
10:02 → 8명
10:03 → 20명

처럼 변동된다.

체크인 처리시간 역시 승객마다 다르다.

승객 A → 1분 20초
승객 B → 4분 10초
승객 C → 2분 05초
승객 D → 7분 30초

따라서 이러한 변동성을 확률적으로 표현하기 위해 M/M/s 같은 대기행렬 모델을 사용한다.

14. Erlang C는 무엇인가?

Erlang C는 M/M/s 대기행렬에서 많이 사용하는 계산 방법이다.

쉽게 표현하면 다음과 같은 질문에 답하기 위한 방법이다.

승객이 대기하게 될 확률은 얼마인가?

평균적으로 몇 분을 기다리게 되는가?

시설이 현재 승객 수요를 감당할 수 있는가?

현재 단계에서는 Erlang C 공식을 직접 계산하기보다,

대기시간과 대기확률을 계산하기 위한 대표적인 대기행렬 공식

정도로 이해하면 된다.

15. Little's Law

대기행렬 이론에서 매우 중요한 공식 중 하나가 Little's Law이다.

L = λ × W

의미는 다음과 같다.

평균 인원
=
유입속도
×
평균 머무르는 시간

예를 들어 어떤 공간에 시간당 60명이 들어오고, 한 사람이 평균 30분 동안 머문다고 가정한다.

λ = 60명/시간
W = 0.5시간

그러면 평균 인원은,

L = 60 × 0.5
  = 30명

정도로 예상할 수 있다.

16. 공항 대기열에 Little's Law 적용

체크인 대기열의 유입률이 다음과 같다고 가정한다.

λ = 300명/시간

평균 대기시간이,

Wq = 12분

이라면 시간 단위로 환산하면,

Wq = 0.2시간

이다.

따라서 평균 대기인원은,

Lq = λ × Wq
   = 300 × 0.2
   = 60명

으로 계산할 수 있다.

즉,

시간당 300명이 유입되고 평균적으로 12분을 기다린다면 대기열에는 평균 약 60명이 존재한다.

라는 의미이다.

Little's Law는 실제 관측값과 시뮬레이션 결과가 논리적으로 맞는지를 검증하는 데도 활용할 수 있다.

17. Xovis와 CAST에서의 활용 관점

실제 공항에서는 λ, μ, s, Lq가 처음부터 모두 주어지는 것은 아니다.

따라서 Xovis, CAST 등의 데이터를 활용하여 다음 정보를 산출해야 한다.

Xovis / CAST 데이터
        ↓
현재 대기인원 Lq
        ↓
유입률 λ
        ↓
처리율 μ
        ↓
운영 시설 수 s
        ↓
전체 처리능력 s × μ
        ↓
대기열 증가/감소 판단
        ↓
필요 시설 수 계산
        ↓
혼잡 해소시간 예측

결국 대기행렬 이론을 사용하는 목적은 단순히 수식을 계산하는 것이 아니다.

핵심 목적은,

현재 공항 운영상태를 데이터로 파악하고 앞으로의 혼잡 상태를 예측하는 것

이다.

18. CAST Express 시뮬레이션과의 연결

CAST Express 시뮬레이션에서도 동일한 개념을 사용할 수 있다.

예를 들어 다음 두 결과를 비교할 수 있다.

실제 Xovis 관측값
        ↕
CAST Express 시뮬레이션 결과

비교 대상은 다음과 같다.

대기인원
유입량
처리량
평균 대기시간
혼잡 발생시점
혼잡 해소시점
운영시설 수

이 값을 서로 비교하면,

CAST Express의 시뮬레이션이 실제 공항 운영환경을 얼마나 잘 재현하고 있는가

를 판단할 수 있다.

따라서 대기행렬 이론은 CAST 시뮬레이션 결과 검증과 보정에도 활용할 수 있는 이론적 기반이 된다.

19. 이번 강의 핵심 정리

이번 강의에서는 다음 네 가지 변수를 가장 먼저 이해하는 것이 중요하다.

λ : 사람이 들어오는 속도
μ : 시설 하나의 처리속도
s : 운영 중인 시설 수
Lq : 현재 기다리는 사람 수

그리고 가장 중요한 기본 관계는 다음과 같다.

전체 처리능력 = s × μ

대기열 감소속도
= s × μ - λ

따라서,

s × μ > λ
→ 대기열 감소

s × μ = λ
→ 대기열 유지

s × μ < λ
→ 대기열 증가

이다.

이를 한 문장으로 정리하면,

대기행렬 이론은 승객이 들어오는 속도와 시설이 처리하는 속도의 관계를 이용해 대기인원, 혼잡 상태, 필요 시설 수, 혼잡 해소시간 등을 예측하는 방법이다.

다음 강의

[CAST 대기행렬 스터디] 2강. Xovis 데이터에서 유입률 λ를 계산하는 방법 :chatgpt-content-reference{index="2"}

현재 대기인원
이전 대기인원
처리된 승객 수

를 이용해 **:chatgpt-content-reference{index="3"}**을 실제 숫자를 넣어 단계별로 계산해본다.

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}
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| ------------ | :----------: | ------: |
| Carrot       | Red          | 1,000   |
| Banana       | Yellow       | 32,000  |
```
| Default | Align center | Align right | | ------------ | :----------: | ------: | | Carrot | Red | 1,000 | | Banana | Yellow | 32,000 | Also, you can copy & paste table from excel sheet

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Issue no: #2
Mention: @yobi
commit: @763575 or @763575f177a4ce8b9370954de3ea1a1410205593

Issue no: #2

Mention: @yobi

commit: @763575 or @763575

# 1강 쉬운설명 버전

이 3장(이미지 문서)은 처음 보면 수식 때문에 굉장히 어려워 보이지만, 핵심은 의외로 단순합니다.

**“사람이 들어오는 속도보다 처리하는 속도가 빠르면 줄은 줄어들고, 반대면 줄은 계속 늘어난다.”**

이 한 문장을 수학적으로 표현한 것이 대부분입니다. 특히 지금 진행 중인 인천공항 **예측관리(PM) / CAST Express 시뮬레이션** 관점에서는 이 이론을 수학 시험처럼 공부할 필요가 없습니다. **Xovis나 CAST에서 관측되는 값을 가지고 ‘앞으로 얼마나 혼잡해질지, 데스크를 몇 개 열어야 할지, 줄이 언제 없어질지’를 계산할 수 있을 정도**로 이해하면 됩니다.

이번에는 우선 **1강: 수식보다 먼저 용어와 전체 구조 이해하기**로 시작하겠습니다. 이후에는 실제 숫자를 넣어 직접 계산하는 단계까지 이어가면 좋겠습니다.

---

# 1강. 대기행렬 이론을 공항 운영 관점에서 이해하기

먼저 제목부터 정리하겠습니다.

사진에는 **“대기행렬 이론”**이라고 되어 있습니다.

영어로는 **Queueing Theory**입니다.

공항에서 보면 아주 익숙한 상황입니다.

> 승객 도착 → 줄 서기 → 체크인 데스크에서 처리 → 출국장으로 이동

이 상황에서 우리가 궁금한 것은 이런 것입니다.

**“지금 150명이 기다리고 있는데, 체크인 데스크 4개를 운영하면 언제 줄이 없어질까?”**

또는,

**“10분마다 100명이 들어오는데 데스크 하나가 10분에 20명을 처리한다면 데스크를 몇 개 열어야 할까?”**

바로 이것을 계산하는 것이 대기행렬 이론입니다.

---

# 가장 먼저 알아야 할 4개의 주인공

문서 첫 장에서 이렇게 적혀 있습니다.

> 획득할 정보  
> λ(유입량), μ(처리량), Lq(대기인원), s(시설수)

처음에는 기호가 낯설지만 사실 이 **4개만 제대로 이해하면 문서의 70~80%는 이해한 것**입니다.

| 기호 | 읽는 법 | 의미 | 공항에서의 예 |
|---|---|---|---|
| λ | 람다 | 사람이 들어오는 속도 | 체크인 구역으로 시간당 600명 도착 |
| μ | 뮤 | 시설 1개의 처리속도 | 체크인 데스크 1개가 시간당 120명 처리 |
| s | 에스 | 운영 중인 시설 수 | 체크인 데스크 4개 운영 |
| Lq | 엘큐 | 현재 줄에서 기다리는 사람 수 | 대기 승객 150명 |

이 네 개를 공항 그림으로 바꾸면 이렇습니다.

```text
                     체크인 데스크
                     ┌──────┐
                 ┌──▶│ Desk │──▶
                 │   └──────┘
                 │
승객 도착         │   ┌──────┐
λ = 600명/시간 ─▶ [ 대기열 ] ─▶│ Desk │──▶ 처리 완료
                 Lq 150명    └──────┘
                 │
                 │   ┌──────┐
                 └──▶│ Desk │──▶
                     └──────┘

s = 3개
                데스크 1개 처리속도
                 μ = 120명/시간
```

여기까지만 보면 굉장히 단순합니다.

---

# λ(람다)는 무엇인가?

가장 중요한 개념입니다.

λ는 **유입률, Arrival Rate**입니다.

쉽게 말하면

> **“사람이 얼마나 빠르게 들어오는가?”**

입니다.

예를 들어 10분 동안 체크인 구역에 승객 100명이 들어왔다면,

10분 기준으로는

> λ = 100명 / 10분

이고,

시간당으로 환산하면

> λ = 600명 / 시간

입니다.

여기서 굉장히 중요한 것이 있습니다.

### λ는 단순한 ‘사람 수’가 아니라 ‘속도’입니다.

100명이라고 하면 λ가 아닙니다.

**100명/10분**

또는

**600명/시간**

이어야 합니다.

이것이 앞으로 수식을 이해할 때 아주 중요합니다.

---

# μ(뮤)는 무엇인가?

μ는 **Service Rate**, 즉 처리속도입니다.

공항에서라면

> **데스크 하나가 승객을 얼마나 빠르게 처리하는가**

입니다.

예를 들어 체크인 데스크 한 곳이

5분 동안 10명을 처리했다면

> μ = 10명 / 5분

즉

> μ = 2명/분

또는

> μ = 120명/시간

입니다.

여기서 반드시 기억해야 할 것이 있습니다.

### μ는 보통 '시설 하나'의 처리속도입니다.

예를 들어

- 데스크 1개 : 120명/시간
- 데스크 4개 : ?

라면 전체 처리능력은

\[
s\mu
\]

입니다.

따라서

\[
4 × 120 = 480명/시간
\]

입니다.

---

# s는 아주 쉽습니다

s는 **Server의 개수**, 즉 운영 중인 시설 수입니다.

공항에서 서버라고 해서 컴퓨터 서버가 아닙니다.

대기행렬 이론에서는 사람을 처리하는 시설을 **Server**라고 부릅니다.

따라서 체크인 상황에서는

> Server = 체크인 Desk

입니다.

보안검색이라면

> Server = 보안검색 Lane

출국심사라면

> Server = 심사대

가 될 수 있습니다.

예를 들어

```text
Desk 1 : OPEN
Desk 2 : OPEN
Desk 3 : CLOSED
Desk 4 : OPEN
Desk 5 : CLOSED
```

라면

\[
s=3
\]

입니다.

문서 2페이지 아래쪽에

> DeskOpen이 사용(1)인 경우 카운트

라고 되어 있는 이유가 바로 이것입니다.

---

# Lq는 현재 기다리는 사람

Lq에서

- L = Number of people
- q = Queue

정도로 이해하면 편합니다.

즉,

> **Queue에 있는 사람 수**

입니다.

예를 들어 Xovis에서 체크인 Island C의 Queue에 162명이 관측되었다면

\[
L_q = 162
\]

입니다.

여기에서 중요한 차이가 하나 있습니다.

### Lq는 속도가 아닙니다.

λ와 μ는

> 명/시간

같은 **속도**

이고,

Lq는

> 명

이라는 **현재 상태**

입니다.

예를 들면 자동차 도로로 생각하면 이해하기 쉽습니다.

```text
λ = 도로에 들어오는 차량 속도
μ = 톨게이트 처리 속도
s = 톨게이트 개수
Lq = 현재 톨게이트 앞에 밀려 있는 차량 수
```

---

# 이제 가장 중요한 원리를 보겠습니다

문서에 이런 내용이 나옵니다.

\[
배수율 = 처리량 - 유입량
\]

즉,

\[
배수율 = s\mu-\lambda
\]

입니다.

이 식이 사실 **3장 전체에서 가장 중요한 식**입니다.

---

# 예를 하나 들어보겠습니다

현재 체크인 데스크가 4개 있다고 하겠습니다.

데스크 한 개 처리속도가

\[
μ=100명/시간
\]

이라면

전체 처리속도는

\[
4 × 100 = 400명/시간
\]

입니다.

그런데 승객은

\[
λ=300명/시간
\]

으로 들어옵니다.

그러면

\[
400-300=100
\]

즉,

> **시간당 대기줄이 100명씩 줄어듭니다.**

이것을 문서에서는 **배수율**이라고 표현하고 있습니다.

저는 이해하기 쉽게 앞으로

### '대기열 감소속도'

라고 같이 표현하겠습니다.

---

# 반대 상황은 어떻게 될까요?

이번에는

\[
λ=500명/시간
\]

이라고 하겠습니다.

하지만 처리능력은 여전히

\[
sμ=400명/시간
\]

입니다.

그러면

\[
400-500=-100
\]

입니다.

즉,

> 시간당 대기인원이 100명씩 증가합니다.

아무리 기다려도 줄이 없어지지 않습니다.

문서 2장에도 바로 이 내용이 있습니다.

> λ > (시설수 × μ)보다 큰 경우,  
> 즉 유입량이 처리량보다 크면 대기열을 해소할 수 없음

이 문장이 굉장히 중요합니다.

---

# 욕조로 생각하면 더 쉽습니다

대기행렬을 수학이라고 생각하지 말고 **욕조**라고 생각해 보겠습니다.

수도꼭지에서 물이 들어옵니다.

이게

\[
λ
\]

입니다.

배수구에서 물이 빠져나갑니다.

이게

\[
sμ
\]

입니다.

현재 욕조에 차 있는 물이

\[
L_q
\]

입니다.

그렇다면 세 가지 상황밖에 없습니다.

```text
들어오는 물 < 빠지는 물
→ 물이 줄어든다.
→ 혼잡 해소

들어오는 물 = 빠지는 물
→ 수위 유지
→ 혼잡 지속

들어오는 물 > 빠지는 물
→ 물이 계속 차오른다.
→ 혼잡 악화
```

공항 체크인도 완전히 동일합니다.

---

# 실제 숫자로 보면 바로 이해됩니다

현재 상황이 다음과 같다고 하겠습니다.

\[
L_q = 150명
\]

즉 150명이 기다리고 있습니다.

승객 유입은

\[
λ=300명/시간
\]

입니다.

데스크 하나의 처리속도는

\[
μ=100명/시간
\]

입니다.

데스크는

\[
s=4
\]

개입니다.

전체 처리속도는

\[
sμ=4×100=400명/시간
\]

입니다.

새로운 승객은 계속

\[
300명/시간
\]

씩 들어옵니다.

따라서 실제로 줄을 줄이는 힘은

\[
400-300=100명/시간
\]

입니다.

현재 줄은 150명입니다.

따라서 대략

\[
150÷100=1.5시간
\]

후에 줄이 없어집니다.

### 이것이 '혼잡 해소시간'의 가장 기본적인 개념입니다.

아직 Erlang C 같은 어려운 공식은 전혀 쓰지 않았습니다.

---

# 그런데 문서에서는 왜 `(Lq - 10)`을 사용할까요?

3페이지에 이런 공식이 있습니다.

\[
t=\frac{L_q-10}{sμ-λ}
\]

문서의 목적이

> **대기인원이 10명 이하가 되는 시점**

을 계산하는 것이기 때문입니다.

현재 150명인데 완전히 0명이 될 필요는 없고

10명까지 줄어들면 혼잡이 해소된 것으로 보겠다는 의미입니다.

따라서 제거해야 하는 사람은

\[
150-10=140명
\]

입니다.

앞의 사례에서 대기열 감소속도가

\[
100명/시간
\]

이었다면

\[
t=\frac{140}{100}=1.4시간
\]

입니다.

즉,

> 약 1시간 24분 후 대기인원이 10명 수준까지 떨어진다.

라고 예측할 수 있습니다.

이것이 사진 3페이지 아래쪽 공식의 의미입니다.

---

# 여기까지 이해하면 벌써 문서의 핵심 절반을 이해한 것입니다

지금까지 내용만 연결해 보겠습니다.

```text
              [승객 유입]
              λ = 300명/h
                   ↓
             ┌─────────┐
             │ 대기열   │
             │ Lq=150명 │
             └────┬────┘
                  ↓
       ┌──────────┼──────────┐
       ↓          ↓          ↓
     Desk1      Desk2       ...
       └──────────┼──────────┘
                  │
            s = 4개 Desk
            μ = 100명/h
                  │
                  ↓
          총 처리능력 = sμ
                   =400명/h

대기열 감소속도

400 - 300
= 100명/h
```

따라서 지금부터는 사진 속 복잡한 수식을 보면

**“결국 λ, μ, s, Lq를 가지고 뭔가 계산하는 거구나.”**

라고 생각하면 됩니다.

---

# 그러면 M/M/s는 무엇인가?

첫 페이지에 가장 낯선 표현이 있습니다.

> M/M/s 모형 (Erlang C)

이것은 **대기열을 어떤 방식으로 모델링할지 정의하는 이름**입니다.

지금은 깊게 들어가지 않고 이렇게 이해하면 충분합니다.

\[
M/M/s
\]

에서 마지막의 `s`는 이미 배웠습니다.

> 시설 수

입니다.

앞의 두 M은 각각

> 승객이 들어오는 방식  
> 처리시간이 변하는 방식

을 나타냅니다.

쉽게 말하면,

**“승객이 정확히 10초마다 한 명씩 오는 것도 아니고, 체크인도 모든 승객이 정확하게 2분씩 걸리는 것이 아니다.”**

라는 현실을 반영한 모델입니다.

어떤 승객은 몰려서 옵니다.

```text
10:00  2명
10:01  15명
10:02  8명
10:03  20명
```

체크인 시간도 다릅니다.

```text
승객 A : 1분 20초
승객 B : 4분 10초
승객 C : 2분 05초
승객 D : 7분 30초
```

그래서 이를 **확률적으로 움직이는 시스템**으로 모델링합니다.

이것이 M/M/s입니다.

---

# Erlang C는 왜 등장할까요?

앞에서 우리가

\[
sμ-λ
\]

만 가지고 줄이 언제 줄어드는지 계산했습니다.

그런데 현실에서는 이런 것도 알고 싶습니다.

> 지금 도착한 승객이 줄을 서게 될 확률은?

또는

> 평균적으로 몇 분 기다릴까?

이것을 계산하는 대표적인 공식이 **Erlang C**입니다.

따라서 아주 단순하게 구분하면

```text
sμ - λ
↓
혼잡이 얼마나 빨리 줄어드는가?

Erlang C
↓
사람이 기다릴 확률은 얼마인가?
평균 대기시간은 얼마인가?
```

정도로 이해하면 좋습니다.

---

# Little's Law는 무엇인가?

첫 페이지에 또 유명한 공식이 있습니다.

\[
L=λW
\]

이를 **Little's Law, 리틀의 법칙**이라고 합니다.

처음 보면 어려워 보이지만 상식적인 공식입니다.

예를 들어 식당을 생각해 보겠습니다.

1시간에 손님이

\[
λ=60명/시간
\]

들어옵니다.

한 사람이 식당에서 평균

\[
W=0.5시간
\]

즉 30분 머문다면,

평균적으로 식당 안에 몇 명이 있을까요?

\[
L=60×0.5
\]

따라서

\[
L=30명
\]

입니다.

즉,

> **평균 인원 = 들어오는 속도 × 머무르는 시간**

입니다.

---

# 공항에서는 이렇게 사용할 수 있습니다

어떤 체크인 대기열에

\[
λ=300명/시간
\]

이 유입되고,

평균 대기시간이

\[
W_q=0.2시간
\]

즉 12분이라면,

평균 대기인원은

\[
L_q=300×0.2
\]

따라서

\[
L_q=60명
\]

정도가 됩니다.

그래서

\[
L_q=λW_q
\]

같은 관계를 이용해 데이터가 서로 말이 되는지 **검증**할 수도 있습니다.

이 부분은 CAST 모형검증에도 상당히 중요합니다.

---

# 그런데 2페이지가 특히 중요한 이유

2페이지에서는 λ를 직접 모르는 경우를 설명하고 있습니다.

Xovis 데이터를 보니

```text
6:10 대기인원 10명
6:20 대기인원 10명
```

입니다.

겉으로 보면

> “10분 동안 아무도 안 들어왔나?”

라고 생각할 수 있습니다.

하지만 실제로는 아닙니다.

그 사이에

```text
5명 들어오고
5명 처리됨
```

이라면

대기인원은 여전히

```text
10명
```

입니다.

즉,

### 대기인원만 봐서는 유입량을 알 수 없습니다.

이 점을 문서 2페이지에서 설명하고 있습니다.

그래서

\[
유입량
=
대기인원 변화량 + 처리된 사람 수
\]

를 이용합니다.

예를 들어

6:20에 100명이 기다렸고,

6:30에는 120명이 기다리고 있으며,

10분 동안 50명이 데스크를 빠져나갔다면

대기인원 증가량은

\[
120-100=20
\]

입니다.

그런데 50명이 처리됐습니다.

그렇다면 들어온 사람은

\[
20+50=70명
\]

입니다.

즉,

> 10분 동안 70명이 유입

된 것입니다.

시간당 환산하면

\[
70 × 6=420명/시간
\]

이므로

\[
λ=420명/시간
\]

로 추정할 수 있습니다.

이 계산은 실제 Xovis 데이터를 이용할 때 매우 유용합니다.

---

# 여기서 문서에 숨어 있는 중요한 주의점 하나

이 부분은 앞으로 실제 구현할 때 꼭 기억해야 합니다.

문서에는 대략

\[
λ=ΔL+유출량
\]

형태로 적혀 있지만 엄밀하게는 **시간 단위가 포함되어야 합니다.**

예를 들어

```text
ΔL + 유출량 = 70명
```

이라고 해서

\[
λ=70
\]

이라고 하면 안 됩니다.

10분 구간이었다면

\[
λ=\frac{70명}{10분}
\]

입니다.

즉

\[
7명/분
\]

또는

\[
420명/시간
\]

입니다.

이 **단위 통일**이 앞으로 CAST/Xovis 데이터를 실제 계산식에 적용할 때 매우 중요합니다.

---

# 이 3장의 전체 이야기는 결국 이것입니다

복잡한 수식을 잠시 모두 치우면 문서가 이야기하는 흐름은 다음 하나로 정리됩니다.

> **① Xovis/CAST에서 현재 줄과 데스크 처리상태를 파악하고 → ② λ, μ, s, Lq를 계산하고 → ③ 현재 처리능력이 충분한지 판단하고 → ④ 부족하다면 시설을 몇 개 더 열어야 하는지 계산하고 → ⑤ 현재 혼잡이 몇 분 후 해소될지 예측한다.**

이것이 이 문서의 본질입니다.

그리고 이것은 지금 하시는 CAST Express 업무와 매우 직접적으로 연결됩니다.

```text
실측 데이터
Xovis
    ↓
λ, μ, Lq, s 산출
    ↓
대기행렬 모델
    ↓
┌─────────────────┐
│ 현재 처리능력 충분? │
└─────────────────┘
      ↓
 필요 Desk 수
      ↓
 혼잡 해소시간
      ↓
CAST 시뮬레이션 예측값
      ↕
실제 Xovis 관측값
      ↓
모형 검증 / 보정
```

이렇게 보면 단순한 수학 공부가 아니라 **CAST 모형이 현실을 제대로 재현하고 있는지를 검증하기 위한 도구**가 됩니다.

---

# 앞으로 이렇게 공부하면 좋겠습니다

다음 단계에서는 한 번에 수식을 많이 배우지 않고, 실제 인천공항 업무 시나리오를 하나 정해서 계속 같은 숫자를 사용하겠습니다.

예를 들어

> **T1 체크인 Island C에 현재 150명이 기다리고 있다. 승객은 시간당 360명 들어오며, Desk 하나는 시간당 100명을 처리한다. 현재 Desk는 4개 운영 중이다.**

이 하나의 사례를 가지고 다음 순서로 진행하겠습니다.

**2강에서는 `λ, μ, s, Lq`를 Xovis 데이터에서 실제로 어떻게 만들어내는지**, 특히 사진 2~3페이지의 계산식을 아주 천천히 풀어보겠습니다. 그다음 **3강에서 처리용량·배수율·혼잡해소시간**, **4강에서 M/M/s와 Erlang C**, **5강에서 Little's Law**, 마지막으로 **CAST Express와 Xovis 데이터를 이용한 실제 예측·검증 구조**까지 연결하면 좋겠습니다.

그리고 수식이 나오더라도 앞으로는 항상

> **수식 → 한국말 → 공항 사례 → 실제 숫자 계산**

순서로 설명하겠습니다.

다음 **2강에서는 사진 2페이지의 가장 중요한 내용인 `Xovis 데이터에서 λ(유입률)를 어떻게 역산하는가`부터 시작해서**, 직접 10분 단위 데이터를 놓고 계산해보겠습니다.

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1강 쉬운설명 버전

이 3장(이미지 문서)은 처음 보면 수식 때문에 굉장히 어려워 보이지만, 핵심은 의외로 단순합니다.

“사람이 들어오는 속도보다 처리하는 속도가 빠르면 줄은 줄어들고, 반대면 줄은 계속 늘어난다.”

이 한 문장을 수학적으로 표현한 것이 대부분입니다. 특히 지금 진행 중인 인천공항 예측관리(PM) / CAST Express 시뮬레이션 관점에서는 이 이론을 수학 시험처럼 공부할 필요가 없습니다. Xovis나 CAST에서 관측되는 값을 가지고 ‘앞으로 얼마나 혼잡해질지, 데스크를 몇 개 열어야 할지, 줄이 언제 없어질지’를 계산할 수 있을 정도로 이해하면 됩니다.

이번에는 우선 1강: 수식보다 먼저 용어와 전체 구조 이해하기로 시작하겠습니다. 이후에는 실제 숫자를 넣어 직접 계산하는 단계까지 이어가면 좋겠습니다.

1강. 대기행렬 이론을 공항 운영 관점에서 이해하기

먼저 제목부터 정리하겠습니다.

사진에는 “대기행렬 이론”이라고 되어 있습니다.

영어로는 Queueing Theory입니다.

공항에서 보면 아주 익숙한 상황입니다.

승객 도착 → 줄 서기 → 체크인 데스크에서 처리 → 출국장으로 이동

이 상황에서 우리가 궁금한 것은 이런 것입니다.

“지금 150명이 기다리고 있는데, 체크인 데스크 4개를 운영하면 언제 줄이 없어질까?”

또는,

“10분마다 100명이 들어오는데 데스크 하나가 10분에 20명을 처리한다면 데스크를 몇 개 열어야 할까?”

바로 이것을 계산하는 것이 대기행렬 이론입니다.

가장 먼저 알아야 할 4개의 주인공

문서 첫 장에서 이렇게 적혀 있습니다.

획득할 정보
λ(유입량), μ(처리량), Lq(대기인원), s(시설수)

처음에는 기호가 낯설지만 사실 이 4개만 제대로 이해하면 문서의 70~80%는 이해한 것입니다.

기호	읽는 법	의미	공항에서의 예
λ	람다	사람이 들어오는 속도	체크인 구역으로 시간당 600명 도착
μ	뮤	시설 1개의 처리속도	체크인 데스크 1개가 시간당 120명 처리
s	에스	운영 중인 시설 수	체크인 데스크 4개 운영
Lq	엘큐	현재 줄에서 기다리는 사람 수	대기 승객 150명

이 네 개를 공항 그림으로 바꾸면 이렇습니다.

                     체크인 데스크
                     ┌──────┐
                 ┌──▶│ Desk │──▶
                 │   └──────┘
                 │
승객 도착         │   ┌──────┐
λ = 600명/시간 ─▶ [ 대기열 ] ─▶│ Desk │──▶ 처리 완료
                 Lq 150명    └──────┘
                 │
                 │   ┌──────┐
                 └──▶│ Desk │──▶
                     └──────┘

                      s = 3개
                데스크 1개 처리속도
                 μ = 120명/시간

여기까지만 보면 굉장히 단순합니다.

λ(람다)는 무엇인가?

가장 중요한 개념입니다.

λ는 유입률, Arrival Rate입니다.

쉽게 말하면

“사람이 얼마나 빠르게 들어오는가?”

입니다.

예를 들어 10분 동안 체크인 구역에 승객 100명이 들어왔다면,

10분 기준으로는

λ = 100명 / 10분

이고,

시간당으로 환산하면

λ = 600명 / 시간

입니다.

여기서 굉장히 중요한 것이 있습니다.

λ는 단순한 ‘사람 수’가 아니라 ‘속도’입니다.

100명이라고 하면 λ가 아닙니다.

100명/10분

또는

600명/시간

이어야 합니다.

이것이 앞으로 수식을 이해할 때 아주 중요합니다.

μ(뮤)는 무엇인가?

μ는 Service Rate, 즉 처리속도입니다.

공항에서라면

데스크 하나가 승객을 얼마나 빠르게 처리하는가

입니다.

예를 들어 체크인 데스크 한 곳이

5분 동안 10명을 처리했다면

μ = 10명 / 5분

즉

μ = 2명/분

또는

μ = 120명/시간

입니다.

여기서 반드시 기억해야 할 것이 있습니다.

μ는 보통 '시설 하나'의 처리속도입니다.

예를 들어

데스크 1개 : 120명/시간
데스크 4개 : ?

라면 전체 처리능력은

[
s\mu
]

입니다.

따라서

[
4 × 120 = 480명/시간
]

입니다.

s는 아주 쉽습니다

s는 Server의 개수, 즉 운영 중인 시설 수입니다.

공항에서 서버라고 해서 컴퓨터 서버가 아닙니다.

대기행렬 이론에서는 사람을 처리하는 시설을 Server라고 부릅니다.

따라서 체크인 상황에서는

Server = 체크인 Desk

입니다.

보안검색이라면

Server = 보안검색 Lane

출국심사라면

Server = 심사대

가 될 수 있습니다.

예를 들어

Desk 1 : OPEN
Desk 2 : OPEN
Desk 3 : CLOSED
Desk 4 : OPEN
Desk 5 : CLOSED

라면

[
s=3
]

입니다.

문서 2페이지 아래쪽에

DeskOpen이 사용(1)인 경우 카운트

라고 되어 있는 이유가 바로 이것입니다.

Lq는 현재 기다리는 사람

Lq에서

L = Number of people
q = Queue

정도로 이해하면 편합니다.

즉,

Queue에 있는 사람 수

입니다.

예를 들어 Xovis에서 체크인 Island C의 Queue에 162명이 관측되었다면

[
L_q = 162
]

입니다.

여기에서 중요한 차이가 하나 있습니다.

Lq는 속도가 아닙니다.

λ와 μ는

명/시간

같은 속도

이고,

Lq는

명

이라는 현재 상태

입니다.

예를 들면 자동차 도로로 생각하면 이해하기 쉽습니다.

λ = 도로에 들어오는 차량 속도
μ = 톨게이트 처리 속도
s = 톨게이트 개수
Lq = 현재 톨게이트 앞에 밀려 있는 차량 수

이제 가장 중요한 원리를 보겠습니다

문서에 이런 내용이 나옵니다.

[
배수율 = 처리량 - 유입량
]

즉,

[
배수율 = s\mu-\lambda
]

입니다.

이 식이 사실 3장 전체에서 가장 중요한 식입니다.

예를 하나 들어보겠습니다

현재 체크인 데스크가 4개 있다고 하겠습니다.

데스크 한 개 처리속도가

[
μ=100명/시간
]

이라면

전체 처리속도는

[
4 × 100 = 400명/시간
]

입니다.

그런데 승객은

[
λ=300명/시간
]

으로 들어옵니다.

그러면

[
400-300=100
]

즉,

시간당 대기줄이 100명씩 줄어듭니다.

이것을 문서에서는 배수율이라고 표현하고 있습니다.

저는 이해하기 쉽게 앞으로

'대기열 감소속도'

라고 같이 표현하겠습니다.

반대 상황은 어떻게 될까요?

이번에는

[
λ=500명/시간
]

이라고 하겠습니다.

하지만 처리능력은 여전히

[
sμ=400명/시간
]

입니다.

그러면

[
400-500=-100
]

입니다.

즉,

시간당 대기인원이 100명씩 증가합니다.

아무리 기다려도 줄이 없어지지 않습니다.

문서 2장에도 바로 이 내용이 있습니다.

λ > (시설수 × μ)보다 큰 경우,
즉 유입량이 처리량보다 크면 대기열을 해소할 수 없음

이 문장이 굉장히 중요합니다.

욕조로 생각하면 더 쉽습니다

대기행렬을 수학이라고 생각하지 말고 욕조라고 생각해 보겠습니다.

수도꼭지에서 물이 들어옵니다.

이게

[
λ
]

입니다.

배수구에서 물이 빠져나갑니다.

이게

[
sμ
]

입니다.

현재 욕조에 차 있는 물이

[
L_q
]

입니다.

그렇다면 세 가지 상황밖에 없습니다.

들어오는 물 < 빠지는 물
→ 물이 줄어든다.
→ 혼잡 해소

들어오는 물 = 빠지는 물
→ 수위 유지
→ 혼잡 지속

들어오는 물 > 빠지는 물
→ 물이 계속 차오른다.
→ 혼잡 악화

공항 체크인도 완전히 동일합니다.

실제 숫자로 보면 바로 이해됩니다

현재 상황이 다음과 같다고 하겠습니다.

[
L_q = 150명
]

즉 150명이 기다리고 있습니다.

승객 유입은

[
λ=300명/시간
]

입니다.

데스크 하나의 처리속도는

[
μ=100명/시간
]

입니다.

데스크는

[
s=4
]

개입니다.

전체 처리속도는

[
sμ=4×100=400명/시간
]

입니다.

새로운 승객은 계속

[
300명/시간
]

씩 들어옵니다.

따라서 실제로 줄을 줄이는 힘은

[
400-300=100명/시간
]

입니다.

현재 줄은 150명입니다.

따라서 대략

[
150÷100=1.5시간
]

후에 줄이 없어집니다.

이것이 '혼잡 해소시간'의 가장 기본적인 개념입니다.

아직 Erlang C 같은 어려운 공식은 전혀 쓰지 않았습니다.

그런데 문서에서는 왜 `(Lq - 10)`을 사용할까요?

3페이지에 이런 공식이 있습니다.

[
t=\frac{L_q-10}{sμ-λ}
]

문서의 목적이

대기인원이 10명 이하가 되는 시점

을 계산하는 것이기 때문입니다.

현재 150명인데 완전히 0명이 될 필요는 없고

10명까지 줄어들면 혼잡이 해소된 것으로 보겠다는 의미입니다.

따라서 제거해야 하는 사람은

[
150-10=140명
]

입니다.

앞의 사례에서 대기열 감소속도가

[
100명/시간
]

이었다면

[
t=\frac{140}{100}=1.4시간
]

입니다.

즉,

약 1시간 24분 후 대기인원이 10명 수준까지 떨어진다.

라고 예측할 수 있습니다.

이것이 사진 3페이지 아래쪽 공식의 의미입니다.

여기까지 이해하면 벌써 문서의 핵심 절반을 이해한 것입니다

지금까지 내용만 연결해 보겠습니다.

              [승객 유입]
              λ = 300명/h
                   ↓
             ┌─────────┐
             │ 대기열   │
             │ Lq=150명 │
             └────┬────┘
                  ↓
       ┌──────────┼──────────┐
       ↓          ↓          ↓
     Desk1      Desk2       ...
       └──────────┼──────────┘
                  │
            s = 4개 Desk
            μ = 100명/h
                  │
                  ↓
          총 처리능력 = sμ
                   =400명/h

대기열 감소속도

400 - 300
= 100명/h

따라서 지금부터는 사진 속 복잡한 수식을 보면

“결국 λ, μ, s, Lq를 가지고 뭔가 계산하는 거구나.”

라고 생각하면 됩니다.

그러면 M/M/s는 무엇인가?

첫 페이지에 가장 낯선 표현이 있습니다.

M/M/s 모형 (Erlang C)

이것은 대기열을 어떤 방식으로 모델링할지 정의하는 이름입니다.

지금은 깊게 들어가지 않고 이렇게 이해하면 충분합니다.

[
M/M/s
]

에서 마지막의 s는 이미 배웠습니다.

시설 수

입니다.

앞의 두 M은 각각

승객이 들어오는 방식
처리시간이 변하는 방식

을 나타냅니다.

쉽게 말하면,

“승객이 정확히 10초마다 한 명씩 오는 것도 아니고, 체크인도 모든 승객이 정확하게 2분씩 걸리는 것이 아니다.”

라는 현실을 반영한 모델입니다.

어떤 승객은 몰려서 옵니다.

체크인 시간도 다릅니다.

승객 A : 1분 20초
승객 B : 4분 10초
승객 C : 2분 05초
승객 D : 7분 30초

그래서 이를 확률적으로 움직이는 시스템으로 모델링합니다.

이것이 M/M/s입니다.

Erlang C는 왜 등장할까요?

앞에서 우리가

[
sμ-λ
]

만 가지고 줄이 언제 줄어드는지 계산했습니다.

그런데 현실에서는 이런 것도 알고 싶습니다.

지금 도착한 승객이 줄을 서게 될 확률은?

또는

평균적으로 몇 분 기다릴까?

이것을 계산하는 대표적인 공식이 Erlang C입니다.

따라서 아주 단순하게 구분하면

sμ - λ
↓
혼잡이 얼마나 빨리 줄어드는가?

Erlang C
↓
사람이 기다릴 확률은 얼마인가?
평균 대기시간은 얼마인가?

정도로 이해하면 좋습니다.

Little's Law는 무엇인가?

첫 페이지에 또 유명한 공식이 있습니다.

[
L=λW
]

이를 Little's Law, 리틀의 법칙이라고 합니다.

처음 보면 어려워 보이지만 상식적인 공식입니다.

예를 들어 식당을 생각해 보겠습니다.

1시간에 손님이

[
λ=60명/시간
]

들어옵니다.

한 사람이 식당에서 평균

[
W=0.5시간
]

즉 30분 머문다면,

평균적으로 식당 안에 몇 명이 있을까요?

[
L=60×0.5
]

따라서

[
L=30명
]

입니다.

즉,

평균 인원 = 들어오는 속도 × 머무르는 시간

입니다.

공항에서는 이렇게 사용할 수 있습니다

어떤 체크인 대기열에

[
λ=300명/시간
]

이 유입되고,

평균 대기시간이

[
W_q=0.2시간
]

즉 12분이라면,

평균 대기인원은

[
L_q=300×0.2
]

따라서

[
L_q=60명
]

정도가 됩니다.

그래서

[
L_q=λW_q
]

같은 관계를 이용해 데이터가 서로 말이 되는지 검증할 수도 있습니다.

이 부분은 CAST 모형검증에도 상당히 중요합니다.

그런데 2페이지가 특히 중요한 이유

2페이지에서는 λ를 직접 모르는 경우를 설명하고 있습니다.

Xovis 데이터를 보니

6:10 대기인원 10명
6:20 대기인원 10명

입니다.

겉으로 보면

“10분 동안 아무도 안 들어왔나?”

라고 생각할 수 있습니다.

하지만 실제로는 아닙니다.

그 사이에

5명 들어오고
5명 처리됨

이라면

대기인원은 여전히

10명

입니다.

즉,

대기인원만 봐서는 유입량을 알 수 없습니다.

이 점을 문서 2페이지에서 설명하고 있습니다.

그래서

[
유입량
=
대기인원 변화량 + 처리된 사람 수
]

를 이용합니다.

예를 들어

6:20에 100명이 기다렸고,

6:30에는 120명이 기다리고 있으며,

10분 동안 50명이 데스크를 빠져나갔다면

대기인원 증가량은

[
120-100=20
]

입니다.

그런데 50명이 처리됐습니다.

그렇다면 들어온 사람은

[
20+50=70명
]

입니다.

즉,

10분 동안 70명이 유입

된 것입니다.

시간당 환산하면

[
70 × 6=420명/시간
]

이므로

[
λ=420명/시간
]

로 추정할 수 있습니다.

이 계산은 실제 Xovis 데이터를 이용할 때 매우 유용합니다.

여기서 문서에 숨어 있는 중요한 주의점 하나

이 부분은 앞으로 실제 구현할 때 꼭 기억해야 합니다.

문서에는 대략

[
λ=ΔL+유출량
]

형태로 적혀 있지만 엄밀하게는 시간 단위가 포함되어야 합니다.

예를 들어

ΔL + 유출량 = 70명

이라고 해서

[
λ=70
]

이라고 하면 안 됩니다.

10분 구간이었다면

[
λ=\frac{70명}{10분}
]

입니다.

즉

[
7명/분
]

또는

[
420명/시간
]

입니다.

이 단위 통일이 앞으로 CAST/Xovis 데이터를 실제 계산식에 적용할 때 매우 중요합니다.

이 3장의 전체 이야기는 결국 이것입니다

복잡한 수식을 잠시 모두 치우면 문서가 이야기하는 흐름은 다음 하나로 정리됩니다.

① Xovis/CAST에서 현재 줄과 데스크 처리상태를 파악하고 → ② λ, μ, s, Lq를 계산하고 → ③ 현재 처리능력이 충분한지 판단하고 → ④ 부족하다면 시설을 몇 개 더 열어야 하는지 계산하고 → ⑤ 현재 혼잡이 몇 분 후 해소될지 예측한다.

이것이 이 문서의 본질입니다.

그리고 이것은 지금 하시는 CAST Express 업무와 매우 직접적으로 연결됩니다.

실측 데이터
Xovis
    ↓
λ, μ, Lq, s 산출
    ↓
대기행렬 모델
    ↓
┌─────────────────┐
│ 현재 처리능력 충분? │
└─────────────────┘
      ↓
 필요 Desk 수
      ↓
 혼잡 해소시간
      ↓
CAST 시뮬레이션 예측값
      ↕
실제 Xovis 관측값
      ↓
모형 검증 / 보정

이렇게 보면 단순한 수학 공부가 아니라 CAST 모형이 현실을 제대로 재현하고 있는지를 검증하기 위한 도구가 됩니다.

앞으로 이렇게 공부하면 좋겠습니다

다음 단계에서는 한 번에 수식을 많이 배우지 않고, 실제 인천공항 업무 시나리오를 하나 정해서 계속 같은 숫자를 사용하겠습니다.

예를 들어

T1 체크인 Island C에 현재 150명이 기다리고 있다. 승객은 시간당 360명 들어오며, Desk 하나는 시간당 100명을 처리한다. 현재 Desk는 4개 운영 중이다.

이 하나의 사례를 가지고 다음 순서로 진행하겠습니다.

2강에서는 λ, μ, s, Lq를 Xovis 데이터에서 실제로 어떻게 만들어내는지, 특히 사진 2~3페이지의 계산식을 아주 천천히 풀어보겠습니다. 그다음 3강에서 처리용량·배수율·혼잡해소시간, 4강에서 M/M/s와 Erlang C, 5강에서 Little's Law, 마지막으로 CAST Express와 Xovis 데이터를 이용한 실제 예측·검증 구조까지 연결하면 좋겠습니다.

그리고 수식이 나오더라도 앞으로는 항상

수식 → 한국말 → 공항 사례 → 실제 숫자 계산

순서로 설명하겠습니다.

다음 2강에서는 사진 2페이지의 가장 중요한 내용인 Xovis 데이터에서 λ(유입률)를 어떻게 역산하는가부터 시작해서, 직접 10분 단위 데이터를 놓고 계산해보겠습니다.

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[CAST 대기행렬 스터디] 1강. 대기행렬 이론의 기본 개념과 핵심 용어 이해하기

1. 대기행렬 이론이란?

2. 가장 먼저 이해해야 할 4개의 핵심 변수

3. λ(람다) : 유입률

4. μ(뮤) : 처리율

5. s : 운영 중인 시설 수

6. Lq : 대기인원

7. 대기행렬 이론의 가장 중요한 원리

8. 예제 : 대기열이 감소하는 경우

9. 반대로 대기열이 계속 증가하는 경우

10. 욕조로 생각하면 이해하기 쉽다

11. 혼잡 해소시간 계산의 기본 개념

12. 대기인원 10명 이하까지 줄이는 시간

13. M/M/s 모델이란?

14. Erlang C는 무엇인가?

15. Little's Law

16. 공항 대기열에 Little's Law 적용

17. Xovis와 CAST에서의 활용 관점

18. CAST Express 시뮬레이션과의 연결

19. 이번 강의 핵심 정리

다음 강의

1강 쉬운설명 버전

1강. 대기행렬 이론을 공항 운영 관점에서 이해하기

가장 먼저 알아야 할 4개의 주인공

λ(람다)는 무엇인가?

λ는 단순한 ‘사람 수’가 아니라 ‘속도’입니다.

μ(뮤)는 무엇인가?

μ는 보통 '시설 하나'의 처리속도입니다.

s는 아주 쉽습니다

Lq는 현재 기다리는 사람

Lq는 속도가 아닙니다.

이제 가장 중요한 원리를 보겠습니다

예를 하나 들어보겠습니다

'대기열 감소속도'

반대 상황은 어떻게 될까요?

욕조로 생각하면 더 쉽습니다

실제 숫자로 보면 바로 이해됩니다

이것이 '혼잡 해소시간'의 가장 기본적인 개념입니다.

그런데 문서에서는 왜 (Lq - 10)을 사용할까요?

여기까지 이해하면 벌써 문서의 핵심 절반을 이해한 것입니다

그러면 M/M/s는 무엇인가?

Erlang C는 왜 등장할까요?

Little's Law는 무엇인가?

공항에서는 이렇게 사용할 수 있습니다

그런데 2페이지가 특히 중요한 이유

대기인원만 봐서는 유입량을 알 수 없습니다.

여기서 문서에 숨어 있는 중요한 주의점 하나

이 3장의 전체 이야기는 결국 이것입니다

앞으로 이렇게 공부하면 좋겠습니다

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그런데 문서에서는 왜 `(Lq - 10)`을 사용할까요?